Ю.Н. Мальцев, д.ф.-м.н., профессор кафедры алгебры и методики обучения математике АлтГПУ, maltsevyn@gmail.com

К ИСТОРИИ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ ПО АЛГЕБРЕ В АЛТГПУ

Статья посвящена истории формирования научного коллектива по алгебре в Алтайском государственном педагогическом университете, истории его развития и дан некоторый анализ новых научных результатов по алгебре, полученных сотрудниками лаборатории «Современная алгебра»

Ключевые слова: история, алгебра, Алтайский государственный педагогический университет.

Yu.N. Maltsev

TO A HISTORY OF SCIENTIFIC RESEARCH ON ALGEBRA AT ALTAI STATE PEDAGOGICAL UNIVERSITY

The paper is devoted to a history of formation of scientific body on algebra at Altai State Pedagogical University, history of its development and is given some analysis of new scientific results in algebra which were received by members of laboratory “Modern algebra”.

Key words: history, algebra, Altai State Pedagogical University.

«… Если мы о чем-нибудь не знаем, как оно

образовалось, то и не понимаем его»

А. Шлейхер

(из книги Шереметевского В.П.

«Очерки по истории математики»

// Москва : учебно-педагог.

Изд-во. – 1940. – 180 с.)

  История развития математического образования на Алтае еще ждет своего исследователя. Особый интерес представляет история становления и развития высшего математического образования в Барнауле. В книгах [19], [20], [21] отражены некоторые историческое аспекты учебной и научной деятельности преподавателей и ученых математических факультетов БГПИ и АлтГУ.

  В частности, в очерках истории БГПИ (см. [19]) указаны научно-исследовательские темы по методике преподавания математики, профессионально-педагогической направленности математической подготовки будущего учителя, которые разрабатывали ведущие преподаватели математического факультета БГПИ. При этом отсутствует информация о научных исследованиях по современной математике на кафедрах БГПИ. В настоящей заметке мы постараемся восполнить этот пробел и восстановить историю становления и развития научных исследования по современной алгебре на кафедре алгебры и методики обучения математике АлтГПУ. К середине 80-х годов прошлого века на кафедре алгебры работал единственный специалист по алгебре, имеющий ученую степень  к.ф.м.н. – Ставский М.Ш.. Его кандидатская диссертация была посвящена p-адическому анализу. По воспоминаниям доц. Моторинского Ю.А.:  «М.Ш. Ставский, активно занимаясь научными исследованиями в области алгебры, много внимания уделял качественной математической подготовке студентов и преподавателей. Им был организован научный семинар по изучению книги П. Самюэля, О. Зарисского «Коммутативная алгебра». Эти привело (в последствии) к тому, что я закончил аспирантуру при кафедре алгебры МГПИ им. Ленина В.И.  (г. Москва), а научными интересами Б.Д. Пайсона стали «математическая логика» и «методика обучения математике в школе и вузе». М.Ш. Ставский руководил также научным и методическим семинаром на кафедре. Это было лучшей формой повышения квалификации для преподавателей».

  В 70-е в 80-е годы прошлого столетия формирование математических кадров на кафедрах вузов г. Барнаула шло, в основном, за счет выпускников аспирантуры НГУ, института математики СОАН СССР, а также вузов г. Томска ([3]). В работе [1] отмечается, что с 1917 г. в г. Томске (Томский технологический институт, Томский университет) начал работать выдающийся алгебраист – Ф.Э. Молин (1861-1941 г.). К сожалению, «… текущие заботы об организации преподавания, устройстве библиотеки и другие виды деятельности, жизненно необходимые для нового, отдаленного от столицы вуза, надолго отрывают его от потока живой международной математической жизни» ([1]). В начале 60-х годов прошлого века в Академгородке (г. Новосибирск) сложилась всемирно известная школа по современной алгебре, возглавляемая академиком Мальцевым А.И. (1909-1967). В ее составе работал коллектив специалистов по теории колец, возглавляемый член-корреспондентом АН СССР Ширшовым А.И.. В настоящее время школа Ширшова А.И. имеет мировую известность. Воспитанниками этой школы решены, например, «проблема Бернсайда» (Е.И. Зельманов, лауреат премии им. Филдса – аналога Нобелевской премии для математиков) и «проблемы Шпехта» (А.Р. Кемер). А.И. Ширшов жил и работал на Алтае до войны. В г. Алейске одна из улиц названо его именем. Ему посвящены многочисленные публикации ([4], [5], [6], [11]). В работе [2] проф. Бокуть Л.А. сделал замечательный исторически обзор результатов, полученных в школе Ширшова в 60-х – 80-х годах.

Формирование научных кадров по алгебре в вузах г. Барнаула, начиная с 70-х годов, шло за счет выпускников аспирантуры НГУ и сотрудников института математики СОАН СССР. Так в АлтПИ стали работать к.ф.-м.н. Киркинский А.С. и Кантор Е.И., в АлтГУ в 1975 г. была создана кафедра алгебры и математической логики в составе: Мальцев Ю.Н. (зав. кафедрой, к.ф.м.н.), Алеев Р.Ф. (к.ф.-м.н.), Чихачев С.А. (к.ф.-м.н.), Ганов В.А. (к.ф.-м.н.), Воронина А.М.. Среди них были специалисты всех научных направлений школы А.И. Мальцева (теория колец, теория групп, теория моделей, теория алгоритмов).

  В 1985 г. были приглашены на работу в БГПИ к.ф.-м.н., ст. преподаватель кафедры алгебры Махачкалинского государственного университета Абакаров А.Ш. и выпускник аспирантуры НГУ, к.ф.-м.н. Исаев И.М. И.М. Исаев приехал по ходатайству и инициативе проф. Одинцова П.К. Он является учеником выдающегося специалиста по теории колец, ученика А.И. Ширшова, И.П. Шестакова (в настоящее время проф. Шестаков И.П. живет и работает в г. Сан-Пауло, Бразилия). А.Ш. Абакаров – выпускник аспирантуры Ленинградского госуниверситета, ученик проф. Яковлева А.В. Он приехал по моей рекомендации. Я был оппонентом на защитах диссертаций каждого из них ([18], [22]). У нас была одна область научных исследований: теория колец. В течение некоторого времени у нас работал н/и семинар по теории колец, на котором, в частности, мы изучали недавно изданную книгу L. Rowen, Polynomial Identities in Ring Theory // New-York : Academic Press. – 1980. - 366 p.

  Конец 80-х и начало 90-х годов – это тяжелое время для российской науки. Многие ученые из школы А.И. Ширшова уехали за границу, не издавалась монографическая и учебная литература по алгебре, перестала работать ВИНИТИ (г. Москва) (через эту организацию мы заказывали копии новых статей, опубликованных в иностранных журналах), были нарушены контакты между коллективами. А.Ш. Абакаров был командирован в г. Москва для изучения португальского языка (в дальнейшем МВССО СССР планировало послать его в Мозамбик для работы в одном из вузов этой страны). Я был приглашен на работу в университеты г. Бразилиа, г. Сан-Пауло (Brasil) и в октябре 1993 г. уехал в Бразилию.

Несмотря на трудности и некоторую изоляцию, И.М. Исаев продолжал заниматься научной работой. В этот период им получены следующие результаты, которые являются жемчужинами в теории многообразия колец:

• Построен пример существенно бесконечно базируемого многообразия алгебр (см. [13]);
• Построен пример конечной алгебры, не имеющей независимого базиса тождеств ([12]).

  Я вернулся из Бразилии в конце 1994 г. и продолжил работать совместителем на кафедре алгебры БГПИ. В 2002 г. ко мне обратился зав. кафедрой алгебры Холодков А.В. с просьбой разрешить студентам математического факультета БГПИ Прокопенко И.А., Кузьминой А.С. и Кислицину А.В. посещать с/к и с/с по теории колец в АлтГУ. Студенты оказались очень способными. Они успешно сдали мне все специальные курсы по теории колец в АлтГУ, регулярно выступали с докладами на с/с, рассказывая либо собственные результаты, либо реферируя статьи других авторов. В результате они успешно закончили магистратуру по алгебре (геометрии) в БГПУ. В дальнейшем И.А. Долгунцева (Прокопенко) успешно закончила аспирантуру в НГУ, защитив кандидатскую диссертацию (по теории колец). В настоящее время она живет и работает в Швеции. А.С. Кузьмина закончила аспирантуру в БГПУ в 2009 г., защитив кандидатскую диссертацию (см. [14]) на Ученом Совете Института математики СОРАН (г. Новосибирск). Отметим основные научные результаты ее кандидатской диссертации:

• Полностью описаны конечные ассоциативные кольца с планарными графами делителей нуля ([15], [17])
• Описаны многообразия ассоциативных колец, подпрямонеразложимые кольца которых являются армендеризовскими ([16]).

  Изучаемые в диссертации вопросы являлись актуальными в современной алгебре.

В 2009 г. я был избран на должность профессора кафедры алгебры БГПУ и стал штатным работником вуза. С этого времени изменился подход к организации учебной и научной работы по алгебре на кафедре.

При поддержке зав.кафедрой алгебры доцента Моторинского Ю.А. на кафедре был создан научный коллектив в составе Мальцева Ю.Н., Исаева И.М., Кузьминой А.С. и Кислицина А.В.. Кафедра попыталась открыть магистратуру и аспирантуру по алгебре. К сожалению, министерство не поддержало нашу инициативу по открытию магистратуры, разрешив только подготовку аспирантов. На кафедре стал работать (с 2009 г.) еженедельный научно-исследовательский семинар «Теория колец», на котором докладывались собственные результаты участников, планируемые к защите диссертации, реферировались статьи из научных журналов и главы из монографий. Семинар быстро стал межвузовским, т.к. его стали посещать математики из АлтГУ и АлтГТУ. Периодически к нам приезжают ученые из института математики СОРАН с докладами о новых результатах.

  Научная активность коллектива была замечена ректоратом АлтГПА и в 2011 г. мы получили финансирование на выполнение государственного задания Минобрнауки РФ по теме «Многообразия колец с ограничениями на конечные кольца и строение конечных колец с ограничениями на делители нуля» (№ 1.4311.2011).

  Немного позже мы получили предложение из института математики СОРАН (г. Новосибирск) стать исполнителями по выполнению проекта РФФИ «Базисы Гребнера-Ширшова, идеалы модулярных групповых колец бесконечных симметрических групп, конформые алгебры и графы делителей нуля» (код проекты РФФИ-12-01-00329, головная организация – ИМ СОРАН), а с 2014 г. наш коллектив выполнял н/и работы по проекту № 596 (№ 2014-418) Минобрнауки РФ «Многообразия колец с ограничениями на конечные кольца и строение конечных колец с ограничениями на делители нуля» (рег. № 01201463450).

  Проведем основные н/и результаты работы нашего коллектива за последние 6 лет.

2012 год.

1. Получено полное описание конечных ассоциативных колец, графы делителей нуля которых являются эйлеровыми (А.С. Кузьмина)
2. Получено полное описание конечных ассоциативных колец, графы делителей нуля которых являются полными двудольными (А.С. Кузьмина, Ю.Н. Мальцев)
3. Получено решение известной проблемы Шестакова И.П. из [24] (Исаев И.М., Кислицин А.В.)

Эти результаты опубликованы в работах (Web of Science, Scopus):

1. Kuzmina A.S. Finite Rings with Eulerian Zero-Divisor Graphs / Journal of Algebra and Its Applications. – 2012. – Vol. 11, № 3. – p. 12-19.
2. Kuzmina A.S., Maltsev Yu. N. On varieties of rings whose finite rings are determinined by their zero-divisor graphs // Asian-Europian Journal of Mathematics. – 2012. - № 5(2). – p. 1-11.
3. Кузьмина А.С., Мальцев Ю.Н. Конечные кольца с полными двудольными графами делителей нуля // Известия вузов. Математика. – 2012. - № 3. – С. 24-30.
4. Исаев И.М., Кислицин А.В. Пример простой конечномерной алгебры, не имеющей конечного базиса тождеств // Доклады Академии наук. – 2012. - № 3. – С. 24-30.
5. Isaev I.M., Kislitsin A.V. “An example of a simple finite-dimentional algebra with no finite basis of identities” // Doklady Mathematics. – Vol. 86. - № 3. – pp. 1-2.
6. Кузьмина А.С., Мальцев Ю.Н. Теория чисел // Учебное пособие. – Барнаул: Изд-во АлтГПУ. – 2012. – 241 с.

  Данное учебное пособие допущено Учебно-методическим объединением по направлению педагогического образования Министерства образования и науки РФ в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 050200 (Физико-математическое образование).

  Заметим, что проблема Шестакова И.П. была сформулирована для алгебр над полем характеристики нуль [24]. И.М. Исаев и А.В. Кислицин решили ее для алгебр над произвольным полем. Из этого следует, в частности, что существуют простые конечные алгебры с бесконечным базисом тождеств.

2013 год.

  Вопрос об описании конечных колец, графы делителей нуля которых являются гамильтоновыми, является трудным, т.к. в литературе известны только достаточные призраки гамильтоновости графа (например, условие Дирака). Вопрос об изоморфизме колец с изоморфными графами делителей нуля (в общем случае) имеет отрицательное решение. Мы нашли решение, выше приведенных вопросов, на языке многообразий колец. Именно, доказаны следующие основные результаты:

1. Конечные кольца многообразия колец М имеют гамильтоновы графы делителей нуля тогда и только тогда, когда идеал тождеств Т (М) содержит многочлены xy, mx, где m-натуральное число (Мальцев Ю.Н., Кузьмина А.С.)
2. Конечные кольца многообразия колец М однозначно определяются своими графами делителей нуля тогда и только тогда, когда М содержится в , где – простые числа,  и  (Мальцев Ю.Н., Кузьмина А.С., Журавлев Е.В.).

Результаты опубликованы в работах (Web of Science, Scopus):

1. Мальцев Ю.Н., Журавлев Е.В., Кузьмина А.С. Описание многообразий колец, в которых конечные кольца однозначно определяются своими графами делителей нуля // Известия вузов. Математика. – 2013. - № 6. – с. 13-24.
2. Kuzmina A.S., Maltsev Y.N. Describing ring varieties in which all finite rings has Hamiltonian zero-divisor graph // Algebra i Logic. – 2013 – 52. - № 2.- c. 137-146.
3. Кузьмина А.С., Мальцев Ю.Н. Описание многообразий колец, в которых все конечные кольца имеют гамильтоновы графы делителей нуля // Алгебра и логика . – 2013. – 52. - № 2. - с. 203-218.
4. M . Isaev, A.V. Kislitsin, Example of simple finite dimensional algebra with no finite basis of its identities // Communications in Algebra. – 2013. – 41, № 1. - p. 4593-4601.
5. Кузьмина А.С. Нильпотеновые кольца порядка p4 с некоторыми дополнительными свойствами // Вестник НГУ. Серия: Математика. – 2013. – 3, № 6. – с. 54-70.
6. Исаев И.М., Кислицин А.В. Тождества векторных пространств и примеры конечномерных линейных алгебр, не имеющих конечного базиса тождеств // Алгебра и логика. – 2013. – 52 (4).

2014-2015гг.

  В последнее десятилетие появились работы, в которых исследуется взаимная связь кольца R и его нильпотентного графа Г_N(R). Представляется актуальным полностью описать кольца, нильпотентные графы которых удовлетворяют определенному условно (однородность, эйлеровость, …). Получены следующие основные результаты:

1. Конечное кольцо R имеет однородный граф делителей нуля тогда и только тогда, когда (Мальцев Ю.Н., Кузьмина А.С.).
2. Описаны конечные кольца R, графы делителей нуля которых удовлетворяют условию Дирака (Мальцев Ю.Н., Кузьмина А.С.)
3. Описаны конечные кольца, нильпотентные графы которых являются однородными (Мальцев Ю.Н., Кузьмина А.С.)
4. Построен пример коммутативной простой конечномерной алгебры, не имеющей конечного базиса тождеств (Кислицин А.В.)

  Результаты опубликованы в работах (Web of Science, Scopus):

1. Кузьмина А.С., Мальцев Ю.Н. Конечные кольца с некоторыми ограничениями на графы делителей нуля // Известия вузов. Математика. – 2014. - № 12. – С. 48-59.
2. Журавлев Е.В., Мальцев Ю.Н. Строение колец ,удовлетворяющих тождеству индекса два // Сибирские электронные математические известия. – 2014. - № 11. – С. 800=810.
3. Мальцев Ю.Н., Журавлев Е.В. Лекции по теории ассоциативных колец // Учебное пособие. – Барнаул: Изд-во АлтГПА. – 2014. – 430 с.

  Данное учебное пособие допущено Учебно-методическими объединением по направлению 44.03.01/44.04.01 «Педагогическое образование» Министерства образования и науки РФ в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, ведущих подготовку по направлению 44.03.01/44.04.01 «Педагогическое образование».

4. Kuzmina A.S., Maltsev Y.N., Finite rings with some restrictions on zero-divisor graphs // Russian Mathem. – 2014. – 58(12). – p. 41 – 50.
5. Kislitsin A.V. “An example of central simple commutative finite-dimensional algebra with an infinite basis of identities // Algebra and Logic. – 2015. – Vol. 54. - № 3. – pp. 204-210.
6. Kuzmina A.S., Maltsev Y.N., On finite rings in which zero-divisor graghs satisfy the Diracs condition, Lobachevslii Jor. of Mathen.. – 2015. - v. 36, № 4. - p. 375-383.
7. Kuzmina A.S., Maltsev Y.N., On some results and open problems concerning Armendariz rings, Asian-European Journ. of Mathem.. – 2015. – 8(№ 4).
8. Kuzmina A.S., Maltsev Y.N., Nilpotent rings of order p4 and nilpotent index 3 // Journal of Mathem. Sciences, v. 205, № 3, 2015, p. 403-417.
9. Исаев И.М., Кислицин А.В. Тождества векторных пространств, вложенных в линейные алгебры // Сибирские электронные математические известия. – 2015. – т. 12, с. 328-343.
10. Кислицин А.В. Пример центральной простой коммутативной алгебры с бесконечным базисом тождеств // Алгебра и логика. – 2015, т. 54. – 315-325.
11. Кузьмина А.С. О строении конечных нильпотентных колец с ограничениями на графы делителей нуля // Сибирские электронные математические известия. – 2015. – т. 12, с. 122-129.
12. Мальцев Ю.Н., Кузьмина А.С. Конечные кольца, нильпотетные графы которых однородны // Сибирские электронные математические известия. – 2015. – т. 12. – с. 144-148.
13. Исаев И.М., Кислицин А.В. О тождествах векторных пространств, вложенных в конечные ассоциативные алгебры // Вестник НГУ, Сер. : математика, механика и информатика. – 2015. – 15, № 3. – С. 69-77

  Заметим также, что в 2014 г. А.В. Кислицин успешно защитил кандидатскую диссертацию на Ученом Совете института математики СОРАН, г. Новосибирск (научный руков. – доц. Исаев И.М.) (см [23]).

2016-2017 гг.

Представляет интерес изучение колец (не обязательно ассоциативных), нильпотентный граф (граф делителей нуля) которых удовлетворяет определенным ограничениям, а также нахождение дополнительных условий на простые конечномерные алгебры, при которых они имеют бесконечный базис тождеств. Это важно, т.к. по известный теореме Львова И.В. каждое конечное кольцо с делением имеет конечный базис тождеств ([25]):

1. Описаны конечные кольца, нильпотентные графы которых эйлеровы (Мальцев Ю.Н., Кузьмина А.С.)
2. Описаны конечные кольца, нильпотентные графы которых удовлетворяют условию Дирака (Мальцев Ю.Н., Кузьмина А.С.)
3. Описаны конечные нильпотентные альтернативные кольца с планарными графами делителей нуля (Кузьмина А.С.)
4. Найдены новые примеры простых конечномерных алгебр, не имеющих конечного базиса тождеств (Кислицин А.В.)

Эти результаты опубликованы в работах (Web of Science, Scopus):

1. Мальцев Ю.Н. Ефиму Исааковичу Зельманову 60 лет // Успехи математических наук. – 2016. – Т. 71. - № 4. – С. 193-199.
2. Kuzmina A.S. On Nilpotent Finite Alternative Rings with Planar Zero-Divisor Graphs // Algebra Colloquim. – 2016. – 23(4). – С. 657-661.
3. Кузьмина А.С., Мальцев Ю.Н. Конечные кольца с эйлеровыми нильпотентными графами // Сибир. электрон. мат. известия. – 2017, том 14. – С. 274-279.
4. Мальцев Ю.Н. Монастырева А.С., Конечные кольца, нильпотентные графы которых удовлетворяют условию Дирака. – Сибир. электрон. мат. известия. – 2017.-14. – с. 274-279.
5. Кислицин А.В. Простые конечномерные алгебры, не имеющие конечного базиса тождеств // Сибирский математический журнал. – 2017. – 58 (№ 3). – С. 591-598/.
6. Kislitsin A.V. The Specht Property of L-Varieties of Vector Spaces // Algebra Logic Vol. 56 (2017), № 362, pp. 362-369.
7. Isaev I.M., Kislitsin A.V. Identities in vector spaces embedded in finite associative algebras, Journal of Math. Sciences. – 2017. – 226(6), pp.849-856.

  Приведенные выше научные результаты и публикации, индексируемые в базе Web of Science и Scopus, дают представление об эффективности научной работы нашего небольшого коллектива. В октябре 2013 г. мы обратились к ректору проф. Лазаренко И.Р. с просьбой рассмотреть на Ученом Совете АлтГПУ вопрос об утверждении научной школы «Современная алгебра» и внесения ее в реестр научных школ нашего вуза. В 2016 г. научная школа «Современная алгебра» была утверждена (№ 2014-03), а в октябре 2017 г. была открыта УНИЛ «Современная алгебра» при кафедре алгебры и методики обучения математике. Заметим также, что сотрудники лаборатории регулярно выступают официальными оппонентами на защитах кандидатских диссертаций ([7], [8], [9], [10]), а Мальцев Ю.Н. утвержден экспертом РАН (№ 2016-01-6242-9935; распоряжение Президиума РАН от 27.07.2016 № 10108-509). По просьбе редколлегий журналов «Algebra Colloq.», «Journal of Algebra and Applications», «Asian-Europ. Journal of Mathem», «Communications in Algebra», «Сибирские электронные математические известия», «Алгебра и логика» сотрудники лаборатории ежегодно рецензируют 20-30 статей, представляемых в эти журналы (все они из базы данных Web of Science и Scopus).

  Дальнейшая работа нашего научного коллектива зависит от достойного финансирования научной работы (в настоящее время все сотрудники лаборатории подрабатывают в школах), наличия научной литературы (в частности, таких журналов как «Journal of Algebra», «Communications in Algebra», а также изданий издательств «Springer-Verlag» (ФРГ) и «Academic Press» (США)) и регулярного притока молодежи. Вопрос с литературой по алгебре можно решить, построив межвузовскую библиотеку, а приход студентов на н/и с/с «Теория колец» будет решен, если открыть специализацию и магистратуру по алгебре.

В заключении заметим, что кроме научной работы по алгебре, члены нашего коллектива активно работают в школах г. Барнаула, руководя работой кружков по теории и практике решения олимпиадных задач по математике в рамках программы: «Будущее Алтая». В результате этой работы: 1) ученик гимназии № 42 г. Барнаула М.И. Исаев получил золотую медаль на международной математической олимпиаде по математике (Греция, 2004 г.; руководители Исаев И.М., Оскорбин Д.Н., Мальцев Ю.Н.); 2) ученица гимназии № 40 Д.Л. Орлова выступила (в составе сборной РФ) на Всемирном научно-техническом конкурсе Intel ISEF (США) (г. Лос-Анджелес, май 2017, руководитель Мальцев Ю.Н.); 3) Мальцев Ю.Н. был приглашен членом жюри, координатором и принял участие в работе 57-й международной математической олимпиады (КНР, г. Гонконг, июль 2016 г.).

Заведующий лабораторией «Современная алгебра»

проф. д.ф.-м. н Мальцев Ю.Н.

Библиографический список.

1. Мальцев, А.И. К истории алгебры В СССР за первые 25 лет // Алгебра и логика. – 1971. – т. 10, № 1. – с. 103-118.
2. Bukut, L.A. Early history of theory of rings in Novosibirsk // Bulletin Acad. De Stiinte A Republ. Moldova. Matematica. – 2017. – № 2 (84). – p. 5-23.
3. Мальцев, Ю.Н., Родионов, Е.Д. К истории развития алгебры и геометрии в Алтайской госуниверситете // Математический факультет АлтГУ в воспоминаниях преподавателей и выпускников // под общ. Ред. Ю.Н. Мальцева, Барнаул : Изд-во ИД «Алтапресс». – 2004. – с. 18-25.
4. Ширшов, А.И. Избранные труды: кольца и алгебры // Москва : Изд-во «Наука». – 1984. – 144 с.
5. Мальцев, Ю.Н., Петрова, Л.Н., Криволапова, В.К. Анатолий Илларионович Ширшов – из когорты великих ученых. Сборник воспоминаний. – Барнаул : ГИПП «Алтай». – 2003. – 146 с.
6. Петрова, Л.Н. Чтобы помнили… Выпуск 2 / ред Л. Петрова, С. Битюцких, Р. Вайс, А. Герцог. – Барнаул : «Сипресс». – 2017. – 367 с.
7. Губарев, В.Ю. Структура Г-конформных алгебр и вложения алгебр Лодея : автореф. дисс. … канд. физ.-мат. наук / Всеволод Юрьевич Губарев. – Новосибирск, 2015. – 18 с.
8. Захаров, А.С. Алгебры Новикова-Пуассона и супералгебры йордановых скобок : автореф. дисс. … канд. физ.-мат. наук / Антон Станиславович Захаров. – Новосибирск, 2016. – 18 с.
9. Гончаров, М.Е. Биалгебры, заданные на простых альтернативных и мальцевских алгебрах : автореф. дисс. … канд. физ.-мат. наук / Максим Евгеньевич Гончаров. – Новосибирск, 2010. – 18 с.
10. Финогенова, О.Б. Свойства многообразий ассоциативных алгебр, задаваемые на языке производных объектов: индикаторные и эквациональные характеристики : автореф. дисс. …. докт. физ.-мат. наук / Ольга Борисовна Финогенова. – Екатеринбург, 2016. – 23 с.
11. Бокуть, Л.А. Создатель бриллиантовой леммы / Л.А. Бокуть, Е.Н. Зельманов, В.Н. Латышев, Ю.Н. Мальцев, Шестаков И.Л.  // «Алтайская правда». – 2011. - № 43-44 (18 февраля 2011 г.).
12. Isaev, I.M. Finite algebras with no independent basis of identitites // Algebra Universalis. – 1997. – 37 (№ 4). – p. 440-444.
13. Исаев, И.М. Существенно бесконечно базируемые многообразия алгебр / И.М. Исаев // Сибирский математический журнал . – 1989. – 30 (№ 6). – с. 75-77.
14. Кузьмина, А.С. Некоторые свойства делителей нуля ассоциативных колец : автореф. дисс. … канд. физ.-мат. наук / Анна Сергеевна Кузьмина. – Барнаул, 2009. – 18 с.
15. Maltsev, Y.N., Kuzmina, A.S. Nilpotent finite rings whose zero-divisors graphs are planar // Asian-Europ. Journ. of Math. – 2008. – 1 (№ 4).
16. Кузьмина, А.С. О многообразиях колец, в которых все подпряморазложимые кольца являются армедеризовскими / А.С. Кузьмина // Известия вузов. Математика. – 2009. - № 8. – с. 45-52.
17. Кузьмина, А.С. Описание конечных ненильпотентных колец, имеющих планярные графы делителей нуля / А.С. Кузьмина // Дискретная математика. – 2009. - № 4.
18. Абакаров, А.Ш. Идеал тождеств  алгебры треугольных матриц : дисс. … канд. физ.-мат. наук / Аюб Шихкеринович Абакаров. – Ленинград. – 1982. – 70 с.
19. Путь длиной в шестьдесят лет // Очерки истории БГПИ. – Барнаул : изд-во БГПИ. – 1993. – 120 с.
20. Математический факультет АлтГУ в воспоминаниях преподавателей и выпускников // под общ. ред. Ю.Н. Мальцева. – Барнаул: Изд-во ИД «Алтпресс». – 2004. – 304 с.
21. МФ-ФМ и ИТ. 40 лет // под общ. ред. Л.А. Хворовой. - Барнаул : изд-во Алт.гос. ун-та. – 2014. – 320 с.
22. Исаев, И.М. Тождества конечных алгебр: дисс. … канд. физ.-мат. наук / Исмаил Мусаевич Исаев. – Новосибирск, 1985. – 78 с.
23. Кислицин, А.В. Тождества векторных пространств, вложенных в линейные алгебры, и примеры конечномерных алгебр, не имеющих конечного базиса тождеств : дисс. … канд. физ.-мат. наук / Алексей Владимирович Кислицин. – Барнаул, 2014. – 98 с.
24. Днестровская тетрадь. Нерешенные проблемы теории колец и модулей. 4-е изд. // Новосибирск: ИМ СОРАН. – 1993. – 73 с.
25. L`vov, I.V. On the finitiness of the basis of identitites of some nonassociative rings // Algebra Logica. – 1975. – 11. – p. 15-27.